Floating point: float, double, আর 0.1 কেন ঠিক 0.1 নয়

Maria-র দোকানের till তিনটা দাম যোগ করে এমন একটা মোট ছাপে, যেটা এক পয়সা কম। ও চারবার কাগজে মিলিয়ে দেখে। কাগজও ঠিক, মেশিনও ঠিক, অথচ দুইটা মেলে না।

কেউ ভুল করেনি। একটা দশমিক সংখ্যা binary বাক্সে ঠিকঠাক ধরে না, যেমন এক তৃতীয়াংশ দশমিকে ধরে না। এই lesson সেটা নিয়ে চলার কৌশল।

Binary বাক্সে একটা দশমিক সংখ্যা

এক তৃতীয়াংশ দশমিকে লেখো, পাও 0.333333, যতক্ষণ লিখতে চাও ততক্ষণ। যেখানেই থামো, তুমি এমন কিছু লিখেছ যেটা এক তৃতীয়াংশ না।

Computer-রও একই সমস্যা, দুই ভিত্তিতে। ওর অঙ্কগুলো হলো অর্ধেক, চার ভাগের এক, আট ভাগের এক আর ষোলো ভাগের এক, আর ওগুলোর কোনো যোগফলই ঠিক এক দশমাংশে গিয়ে পড়ে না।

তাই তুমি C-তে 0.1 লিখলে মেশিন তার সবচেয়ে কাছের যে মানটা বানাতে পারে সেটাই রাখে। ওই মানটা কাছাকাছি, আর ওটা 0.1 না।

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    double a = 0.1;
    double b = 0.2;

    printf("0.1 is stored as : %.20f\n", a);
    printf("0.2 is stored as : %.20f\n", b);
    printf("0.3 is stored as : %.20f\n", 0.3);
    return 0;
}

0.1 is stored as : 0.10000000000000000555
0.2 is stored as : 0.20000000000000001110
0.3 is stored as : 0.29999999999999998890

%.20f বিন্দুর পরে বিশটা ঘর চায়, আর ওভাবেই তুমি দেখতে পাও ভেতরে আসলে কী আছে। তোমার লেখা আর সব program ছয় ঘর ছেপেছে আর এই পুরোটা লুকিয়ে রেখেছে।

তাই তোমার source-এ লেখা একটা দশমিক literal হলো একটা অনুরোধ, আর তুমি পাও মেশিনের বানাতে পারা সবচেয়ে কাছের মানটা।

float আর double: কে কতটা অঙ্ক ঠিক রাখে

দশমিকের জন্য C তোমাকে দুই মাপের বাক্স দেয়, যেগুলো তুমি সত্যিই ব্যবহার করবে।

"ঠিক রাখে যত অঙ্ক" সংখ্যাটাই আসল, আর ওটা ফুরিয়ে যেতে তুমি চোখে দেখতে পারো।

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    float  as_float  = 3.141592653589793f;
    double as_double = 3.141592653589793;

    printf("float : %.15f\n", as_float);
    printf("double: %.15f\n", as_double);
    return 0;
}

float : 3.141592741012573
double: 3.141592653589793

দুইটা লাইন অঙ্ক ধরে ধরে মেলাও। সাতটা অঙ্ক পর্যন্ত মেলে, তারপর float বানিয়ে বানিয়ে বলছে।

সাধারণভাবে double নাও। তুমি যেসব processor ব্যবহার করবে তার কোনোটাতেই ওটা ধীর না, আর বাঁচানো 4 byte কখনো হারানো আট অঙ্কের সমান না।

প্রথম literal-র শেষের f-টা খেয়াল করো। ওটা ছাড়া সংখ্যাটা একটা double হয়, তারপর সেটা float-এ চেপে ঢোকে, মানে একই উত্তর একটু ঘুরপথে।

0.1 যোগ 0.2-র সমস্যা, বিশ ঘর পর্যন্ত ছাপা

এই program-টা প্রতিটা C শিক্ষার্থীর ঠিক একবার চালানো উচিত, আর তারপর সারাজীবন মনে রাখা উচিত।

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    double a = 0.1;
    double b = 0.2;
    double sum = a + b;

    printf("0.1 + 0.2 = %.20f\n", sum);
    printf("0.3       = %.20f\n", 0.3);
    printf("are they the same? %d\n", sum == 0.3);
    return 0;
}

0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004441
0.3       = 0.29999999999999998890
are they the same? 0

0.3-র কাছের দুইটা মান যোগ হলো, আর উত্তরটা এমন একটা বেড়ার খুঁটিতে গিয়ে পড়ল, যেটা 0.3 নিজে যেখানে পড়ে তার থেকে আলাদা।

শেষ লাইনটা আরও একটা জিনিস দেখায়, যেটা আগেভাগে জেনে রাখা ভালো। C-তে একটা তুলনা হলো একটা expression, আর তার মান 1 বা 0। আমরা এইমাত্র যেভাবে করলাম, সেভাবে তুমি সেটা ছাপতে পারো।

তাই দুইটা দশমিক সংখ্যায় == জিজ্ঞেস করে, দুইটা খুঁটি কি একই খুঁটি। তুমি প্রায় কখনোই ওই প্রশ্নটা করতে চাওনি।

সহনসীমা দিয়ে মেলানো

তুমি আসলে জানতে চেয়েছিলে "এরা কি এতটা কাছে যে এক ধরা যায়"। তাই সেটাই জিজ্ঞেস করো।

<math.h>-র fabs একটা পার্থক্যের মাপ দেয়, চিহ্ন বাদ দিয়ে। ওই মাপটাকে একটা ছোট সংখ্যার সঙ্গে মেলাও, যাকে প্রায়ই বলে epsilon।

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    double sum = 0.1 + 0.2;
    double epsilon = 1e-9;

    printf("the difference  : %.20f\n", fabs(sum - 0.3));
    printf("close enough?   : %d\n", fabs(sum - 0.3) < epsilon);
    return 0;
}

the difference  : 0.00000000000000005551
close enough?   : 1

1e-9 হলো 0.000000001-র বৈজ্ঞানিক লেখা। সাধারণ মাপের সংখ্যার জন্য এটা যুক্তিসঙ্গত epsilon, আর খুব বড় বা খুব ছোট সংখ্যার জন্য খারাপ।

কিছু system-এ math library জোড়া লাগাতে command line-এ -lm লাগে। Playground ওটা আগে থেকেই পাঠায়, তাই সেখানে fabs বাড়তি কিছু ছাড়াই চলে।

তাই নিয়মটা হলো: দুইটা দশমিক সংখ্যার মধ্যে কখনো == না, সবসময় একটা পার্থক্যকে বুঝেশুনে বাছা সহনসীমার সঙ্গে মেলানো।

Integer ভাগ, আর গড়ের ফাঁদ

C-তে দুইটা পূর্ণসংখ্যা ভাগ করলে পূর্ণসংখ্যাই পাও। ভগ্নাংশটা round হয় না; ওটা ফেলে দেওয়া হয়।

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int a = 7;
    int b = 2;

    printf("int / int         : %d\n", a / b);
    printf("stored in a double: %f\n", (double)(a / b));
    printf("done as decimals  : %f\n", a / (double)b);
    return 0;
}

int / int         : 3
stored in a double: 3.000000
done as decimals  : 3.500000

মাঝের লাইনটাই মানুষকে ধরে। Variable-টা একটা double, আর যে মানটা ওতে ঢুকেছে সেটা ঢোকার আগেই নষ্ট হয়ে গেছে।

সমাধানটা ভাগের উপর বসে, ফলের উপর না। এক পাশকে দশমিক type বানাও, আর পুরো ভাগটাই দশমিকে হবে।

তাই (a + b + c) / 3 একটা পূর্ণসংখ্যা, আর (a + b + c) / 3.0 না। একটা অক্ষর।

ছাপা: %f, %.2f, %e আর %g

একটা double-র মান একটাই, আর সেটা দেখানোর রকম অনেক।

double v = 1234.5678;

printf("%f",   v)      1234.567800     ছয় ঘর, সবসময়
printf("%.2f", v)      1234.57         দুই ঘর, round করা
printf("%e",   v)      1.234568e+03    বৈজ্ঞানিক লেখা
printf("%g",   v)      1234.57         ছোট রূপ, ও নিজেই বাছে

ছাপার সময় যে মানটা রাখা আছে সেটাই round হয়, তুমি যা লিখেছিলে সেটা না। সেজন্যই 1.005-র %.2f হলো 1.00, যেমনটা পরের Example দেখায়।

দশমিক type কখন একদমই ব্যবহার করবে না

টাকা আর গোনা দশমিক সংখ্যা না। ওগুলো সবচেয়ে ছোট এককের পূর্ণসংখ্যা, আর ওভাবেই রাখা উচিত।

ব্যাংক পয়সা রাখে, টাকা না। দোকান পয়সা রাখে। Invoicing system সেন্ট রাখে। তখন প্রতিটা যোগ নিখুঁত, আর দশমিক বিন্দুটা কেবল ছাপার সময় ফেরত বসে।

তাই যে নিয়মটা প্রতিটা পেশাদার programmer-র সঙ্গে সঙ্গে ঘোরে: দশমিক মাপার জন্য, পূর্ণসংখ্যা গোনার জন্য। টাকা গোনার জিনিস।

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    double third = 1.0 / 3.0;

    printf("six places   : %f\n", third);
    printf("twenty places: %.20f\n", third);
    return 0;
}

six places   : 0.333333
twenty places: 0.33333333333333331483

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    double sum = 0.1 + 0.2;
    double target = 0.3;
    double epsilon = 1e-9;

    printf("with ==        : %d\n", sum == target);
    printf("with tolerance : %d\n", fabs(sum - target) < epsilon);
    printf("the difference : %.20f\n", fabs(sum - target));
    return 0;
}

with ==        : 0
with tolerance : 1
the difference : 0.00000000000000005551

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    double taka = 2.675;
    long long paisa = 268;          /* the same price, rounded to paisa first */

    printf("as a double, 2 places : %.2f\n", taka);
    printf("as a double, 20 places: %.20f\n", taka);
    printf("as whole paisa        : %lld.%02lld\n", paisa / 100, paisa - (paisa / 100) * 100);
    return 0;
}

as a double, 2 places : 2.67
as a double, 20 places: 2.67499999999999982236
as whole paisa        : 2.68

double price = 3.5;
printf("%d\n", price);

double d = 0.0;
scanf("%f", &d);
printf("%f\n", d);

int total = 7;
int count = 2;
double average = total / count;
printf("%f\n", average);

double sum = 0.1 + 0.2;
printf("%d\n", sum == 0.3);

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    float serial = 16777217.0f;

    printf("%f\n", serial);
    return 0;
}

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    double r = 0.0;
    scanf("%lf", &r);

    /* One printf, with %.2f. */

    return 0;
}

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int a = 0;
    int b = 0;
    int c = 0;
    scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);

    /* Change one character of (a + b + c) / 3 and it works. */
    printf("%.2f\n", 0.0);
    return 0;
}

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    double c = 0.0;
    scanf("%lf", &c);

    /* Write 9.0 and 5.0, not 9 and 5, and say why to yourself. */
    printf("%.1f\n", 0.0);
    return 0;
}

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    double a = 0.0;
    double b = 0.0;
    double c = 0.0;
    scanf("%lf %lf %lf", &a, &b, &c);

    /* One printf with %d. A comparison is already a 1 or a 0. */

    return 0;
}

পরের lesson দুইটা type নিয়ে, যারা সংখ্যা নয় বলে ভান করে, আর একটা তুলনাকে আরেকটা তুলনার সঙ্গে যোগ করা যায় কেন সেটা নিয়ে।